martes, 25 de mayo de 2010
lunes, 24 de mayo de 2010
reglas basicas de la derivacion
1. para una constante “a”
- Si f(x)= a
Su derivada es f’ (x) = 0
Ejemplos:
• Si f(x) =14,
su derivada es f’(x) = 0
• Si f(x) = 5,
su derivada es
f’(x)= 0
2. para la función
identidad f(x) = x
- Si f(x) = x,
su derivada es f’(x) = 1
Ejemplos:
• Si f(x) = 2,
su derivada es f’(x) = 2
• Si f(x)= 10,
su derivada es f’(x) = 10
3. para una constante “a” por una variable “x”
- Si f(x) = ax, su derivada es f’ (x) = a
Ejemplos:
• si f(x) = 3x,
Su derivada es f’(x)= 3
• si f(x) = 5x,
Su derivada es f’(x)= 5
4. para una variable “x” elevada a una potencia “n”
- Si f(x)= x^n
Su derivada es f’(x) ? Nx^n –1
Ejemplos:
• Si f(x)= x^4,
Su derivada es f’(x)= 4x^3
• Si f(x)= x^8,
Su derivada es f’(x) = 8x^7
5. para una constante “a” por una variable “x” elevada a una potencia “n”
- Si f(x)= ax^n,
Su derivada es f’(x)= anx^n-1
Ejemplos:
• Si f(x)= 6x^3,
Su derivada es f’(x)= 18x
• Si f(x)= 3x^4
Su derivada es f’(x)= 12x
6. para una suma de funciones.
- si f(x) = u(x) + v(x),
Su derivada es f’(x)=6x+4
Ejemplos:
• si f(x)= 4x^2 + 8x,
Su derivada es f’(x) = 8x +8
• si f(x)= 6x^3 + 2x,
Su derivada es f’(x)= 18x + 2
7. Regla del producto
La regla del producto es útil cuando se tiene una función formada de la mnultiplicacion de polinomios, como por ejemplo: f(x)= (2x^3 + 3) (3x^4 –5); la regla del producto es:
- si “u”y “v” son los polinomios:
La funcion: f(x)= uv
Su derivada: f’(x)= u’v + uv’
Ejemplos:
Si f(x)= (3x^2+4)(4x^2+6)
Su derivada es:
(6x^3)(4x^2+6) + (3x^2+4) (8x)
- Si f(x)= a
Su derivada es f’ (x) = 0
Ejemplos:
• Si f(x) =14,
su derivada es f’(x) = 0
• Si f(x) = 5,
su derivada es
f’(x)= 0
2. para la función
identidad f(x) = x
- Si f(x) = x,
su derivada es f’(x) = 1
Ejemplos:
• Si f(x) = 2,
su derivada es f’(x) = 2
• Si f(x)= 10,
su derivada es f’(x) = 10
3. para una constante “a” por una variable “x”
- Si f(x) = ax, su derivada es f’ (x) = a
Ejemplos:
• si f(x) = 3x,
Su derivada es f’(x)= 3
• si f(x) = 5x,
Su derivada es f’(x)= 5
4. para una variable “x” elevada a una potencia “n”
- Si f(x)= x^n
Su derivada es f’(x) ? Nx^n –1
Ejemplos:
• Si f(x)= x^4,
Su derivada es f’(x)= 4x^3
• Si f(x)= x^8,
Su derivada es f’(x) = 8x^7
5. para una constante “a” por una variable “x” elevada a una potencia “n”
- Si f(x)= ax^n,
Su derivada es f’(x)= anx^n-1
Ejemplos:
• Si f(x)= 6x^3,
Su derivada es f’(x)= 18x
• Si f(x)= 3x^4
Su derivada es f’(x)= 12x
6. para una suma de funciones.
- si f(x) = u(x) + v(x),
Su derivada es f’(x)=6x+4
Ejemplos:
• si f(x)= 4x^2 + 8x,
Su derivada es f’(x) = 8x +8
• si f(x)= 6x^3 + 2x,
Su derivada es f’(x)= 18x + 2
7. Regla del producto
La regla del producto es útil cuando se tiene una función formada de la mnultiplicacion de polinomios, como por ejemplo: f(x)= (2x^3 + 3) (3x^4 –5); la regla del producto es:
- si “u”y “v” son los polinomios:
La funcion: f(x)= uv
Su derivada: f’(x)= u’v + uv’
Ejemplos:
Si f(x)= (3x^2+4)(4x^2+6)
Su derivada es:
(6x^3)(4x^2+6) + (3x^2+4) (8x)
biografia Gottfried Wilhelm von Leibniz
En los años de 1670, un barón alemán llamado Gottfried Wilhelm von Leibniz (a veces von Leibnitz) dio un importante paso, más allá de sus precursores, en cálculo mecanizado. Era hijo de un profesor de filosofía moral en Leipzig. Aprendió el mismo Latín y algo de Griego a la edad de 12 años, para así poder leer los libros de su padre. Desde 1661 al 1666 estudió leyes en la Universidad de Leipzig. En 1666 le fue rechazado el ingreso para continuar con un curso de doctorado, y fue a la Universidad de Altdorf, recibiendo su doctorado en leyes en el 1667.
Continuó su carrera de leyes trabajando en la corte de Mainz hasta 1672. En ese año visitó París para tratar de disuadir a Luis XIV del ataque al territorio Alemán. Permaneció en París hasta 1676, donde continuó practicando leyes. Sin embargo en París estudió matemáticas y física. Fue durante este periodo que las características fundamentales del cálculo fueron desarrolladas.
Fue un verdadero precursor de la lógica matemática. Persiguiendo una idea que le acosa desde la juventud es pos de un “alfabeto de los pensamientos humanos” y de un “idioma universal” se propone el proyecto de construir “una característica universal”, especie de lenguaje simbólico capaz de expresar, sin ambigüedad, todos los pensamientos humanos, de manera que al surgir una controversia entre dos filósofos, éstos la zanjasen a la manera de los calculistas; bastaría en efecto, sentarse ante los ábacos, pluma en mano, y como buenos amigos decirse, en mutuo acuerdo: calculemos.
Esas ideas de Leibniz, que contiene muchos conceptos de la lógica simbólica de hoy, no tuvieron entonces mayor influencia, pues quedaron inéditas hasta el siglo XX. Igual destino tuvieron ideas semejantes esbozadas durante el siglo XVIII y comienzos del XIX. Agreguemos que las ideas de Kant, de gran influencia en su tiempo y para quien no era necesaria “ninguna nueva invención en la lógica”, han contribuido sin duda al estancamiento de esta disciplina. Las cosas cambiaron cuando llegó Boole, el cual se convirtió en el verdadero fundador de la lógica simbólica.
Pero los esfuerzos de Leibniz fuero más allá. Él consideraba que “el trabajo de cálculo, es indigno de hombres excelentes que pierden horas como esclavos y que seguramente podría ser relegado a alguien más común si las máquinas fueran usadas."
Consecuente con lo anterior, Leibniz desarrolló las ideas de Pascal y, en 1671, introdujo el Paso Reckoner, un artefacto que, así como sumaba y restaba, podía multiplicar, dividir, y sacar raíces cuadradas a través de una serie de pasos adicionales. Se trató de un dispositivo que puede ser considerado como el antepasado de los actuales computadores de escritorio. Sus derivaciones siguieron siendo producidas hasta que sus equivalentes electrónicos se hicieron de fácil acceso en los inicios de los años 1970.
El 21 de noviembre de 1675 escribió un manuscrito usando
por primera vez la notación de la integral ò f(x)*d(x). En el mismo manuscrito estaba dada la regla para la diferenciación. Esa regla fue dada a conocer dos años después, en julio de 1677.
Continuó su carrera de leyes trabajando en la corte de Mainz hasta 1672. En ese año visitó París para tratar de disuadir a Luis XIV del ataque al territorio Alemán. Permaneció en París hasta 1676, donde continuó practicando leyes. Sin embargo en París estudió matemáticas y física. Fue durante este periodo que las características fundamentales del cálculo fueron desarrolladas.
Fue un verdadero precursor de la lógica matemática. Persiguiendo una idea que le acosa desde la juventud es pos de un “alfabeto de los pensamientos humanos” y de un “idioma universal” se propone el proyecto de construir “una característica universal”, especie de lenguaje simbólico capaz de expresar, sin ambigüedad, todos los pensamientos humanos, de manera que al surgir una controversia entre dos filósofos, éstos la zanjasen a la manera de los calculistas; bastaría en efecto, sentarse ante los ábacos, pluma en mano, y como buenos amigos decirse, en mutuo acuerdo: calculemos.
Esas ideas de Leibniz, que contiene muchos conceptos de la lógica simbólica de hoy, no tuvieron entonces mayor influencia, pues quedaron inéditas hasta el siglo XX. Igual destino tuvieron ideas semejantes esbozadas durante el siglo XVIII y comienzos del XIX. Agreguemos que las ideas de Kant, de gran influencia en su tiempo y para quien no era necesaria “ninguna nueva invención en la lógica”, han contribuido sin duda al estancamiento de esta disciplina. Las cosas cambiaron cuando llegó Boole, el cual se convirtió en el verdadero fundador de la lógica simbólica.
Pero los esfuerzos de Leibniz fuero más allá. Él consideraba que “el trabajo de cálculo, es indigno de hombres excelentes que pierden horas como esclavos y que seguramente podría ser relegado a alguien más común si las máquinas fueran usadas."
Consecuente con lo anterior, Leibniz desarrolló las ideas de Pascal y, en 1671, introdujo el Paso Reckoner, un artefacto que, así como sumaba y restaba, podía multiplicar, dividir, y sacar raíces cuadradas a través de una serie de pasos adicionales. Se trató de un dispositivo que puede ser considerado como el antepasado de los actuales computadores de escritorio. Sus derivaciones siguieron siendo producidas hasta que sus equivalentes electrónicos se hicieron de fácil acceso en los inicios de los años 1970.
El 21 de noviembre de 1675 escribió un manuscrito usando
por primera vez la notación de la integral ò f(x)*d(x). En el mismo manuscrito estaba dada la regla para la diferenciación. Esa regla fue dada a conocer dos años después, en julio de 1677.
biografia Joseph-Louis de Lagrange
Matemático francés de origen italiano. Estudió en su ciudad natal y hasta los diecisiete años no mostró ninguna aptitud especial para las matemáticas. Sin embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó su interés y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Nombrado profesor de la Escuela de Artillería, en 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín.
En su obra Miscellanea taurinensia, escrita por aquellos años, obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes. Escribió así mismo numerosos artículos sobre cálculo integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción mutuas.
A principios de 1760 era ya uno de los matemáticos más respetados de Europa, a pesar del flagelo de una salud extremadamente débil. Su siguiente trabajo sobre el equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que la Luna siempre mostrara la misma cara, le supuso la concesión, en 1764, de un premio por la Academia de Ciencias de París. Hasta que se trasladó a la capital francesa en 1787, escribió gran variedad de tratados sobre astronomía, resolución de ecuaciones, cálculo de determinantes de segundo y tercer orden, ecuaciones diferenciales y mecánica analítica.
En 1795 se le concedió una cátedra en la recién fundada École Normale, que ocupó tan solo durante cuatro meses. Dos años más tarde, tras la creación de la École Polytechnique, Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron a sus clases las describieron como «perfectas en forma y contenido». Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras Teoría de las funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas (1798). En 1810 inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte.
En su obra Miscellanea taurinensia, escrita por aquellos años, obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes. Escribió así mismo numerosos artículos sobre cálculo integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción mutuas.
A principios de 1760 era ya uno de los matemáticos más respetados de Europa, a pesar del flagelo de una salud extremadamente débil. Su siguiente trabajo sobre el equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que la Luna siempre mostrara la misma cara, le supuso la concesión, en 1764, de un premio por la Academia de Ciencias de París. Hasta que se trasladó a la capital francesa en 1787, escribió gran variedad de tratados sobre astronomía, resolución de ecuaciones, cálculo de determinantes de segundo y tercer orden, ecuaciones diferenciales y mecánica analítica.
En 1795 se le concedió una cátedra en la recién fundada École Normale, que ocupó tan solo durante cuatro meses. Dos años más tarde, tras la creación de la École Polytechnique, Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron a sus clases las describieron como «perfectas en forma y contenido». Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras Teoría de las funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas (1798). En 1810 inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte.
biografia Augustin-Louis Cauchy
Matemático francés. Era el mayor de los seis hijos de un abogado católico y realista, que hubo de retirarse a Arcueil cuando estalló la Revolución. Allí sobrevivieron de forma precaria, por lo que Cauchy creció desnutrido y débil.
Fue educado en casa por su padre y no ingresó en la escuela hasta los trece años, aunque pronto empezó a ganar premios académicos. A los dieciséis entró en la École Polytechnique parisina y a los dieciocho asistía a una escuela de ingeniería civil, donde se graduó tres años después.
Su primer trabajo fue como ingeniero militar para Napoleón, ayudando a construir las defensas en Cherburgo. A los veinticuatro años volvió a París y dos más tarde demostró una conjetura de Fermat que había superado a Euler y Gauss.
Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y empezó a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 páginas de esa investigación once años después. En esta época publicó sus trabajos sobre límites, continuidad y sobre la convergencia de las series infinitas.
En 1830 se exilió en Turín, donde trabajó como profesor de física matemática hasta que regresó a París (1838). Pasó el resto de su vida enseñando en La Sorbona.
Publicó un total de 789 trabajos, entre los que se encuentran el concepto de límite, los criterios de convergencia las fórmulas y los teoremas de integración y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann. Su extensa obra introdujo y consolidó el concepto fundamental de rigor matemático.
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